选题一 · 神经算子快速 PDE 代理模型

课程选题一的代码仓库。研究对象是二维 Poisson 方程上的神经算子（FNO / DeepONet）代理模型， 以有限元（FEM）解作为高保真基准，做精度 / 速度 / 可靠性的对比。

核心研究问题：神经算子在分布内（ID）精度高，并不代表它在分布外（OOD）可靠。 本课题系统测量它的失效边界，并与 FEM 的病态性退化做对照。

定位：这不是”神经算子比 FEM 快 N 倍”的复现，而是”在什么条件下不能用神经算子“的判据。

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环境

Python 3.11.9 + venv，原生 Windows（不需要 WSL / FEniCSx）。

python -m venv .venv
.\.venv\Scripts\Activate.ps1          # PowerShell

pip install -r requirements.txt

PyTorch 需要单独装 CUDA 版，原因和命令见 requirements.txt —— 直接 pip install torch 会装成 CPU 版。

本机实测环境（2026-09-15）

scikit-fem	12.0.2
numpy	2.4.6
torch	2.14.0+cu126（CUDA 可用）
GPU	NVIDIA GeForce RTX 4060 Laptop，8.6 GB

⚠️ 本机 arxiv.org / github.com / download.pytorch.org / dropbox.com 均不可达。 下代码走 codeload.github.com，装 CUDA torch 走 mirror.sjtu.edu.cn/pytorch-wheels/。

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目录结构

├─ src/
│  ├─ fem/        FEM 求解器、网格、源项采样        （数据生成）
│  ├─ no/         神经算子 FNO / DeepONet           （代理模型）
│  └─ exp/        实验记录器（exprecord.py）
├─ scripts/       可执行入口
├─ data/          生成的数据集                     （不入库）
├─ results/       实验留档：日志、图、meta         （不入库）
└─ docs/          实验记录、笔记

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实验记录

每次实验自动留档，不需要手动整理。用 record 上下文管理器包住实验主体：

import os, sys
ROOT = os.path.dirname(os.path.dirname(os.path.abspath(__file__)))
sys.path.insert(0, os.path.join(ROOT, "src", "exp"))
from exprecord import record

with record("实验名", params={"lr": 1e-3}) as rec:
    print("print 照常显示，同时写入 log.txt")
    rec.metric("rel_l2", 5.105e-05)          # 进 summary.md 和 INDEX.md
    rec.figure(fig, "convergence")           # 存图并关闭

产出落进 results/<时间戳>_<实验名>/：

文件	内容
log.txt	终端输出全文
meta.json	时间、耗时、参数、指标、包版本、git commit
summary.md	指标表 + 内嵌图 + 终端输出，可直接贴进报告
fig_*.png	图（150 dpi）

同时自动维护 results/INDEX.md 总表，一行一次实验。

三个省心的地方：

1. 退出时兜底保存所有还开着的图，忘了命名也不会丢
2. 实验抛异常也会留档（status=failed），失败的记录同样有价值
3. meta.json 里带 git commit 和是否脏，日后能对上代码版本

⚠️ results/ 不入库（本机留档）。如需把某次结果冻结进版本管理，挑出图另存到 docs/。

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冒烟测试结论（2026-09-15）

脚本：scripts/smoke_test_poisson.py · 总耗时 5.7 秒

目的：验证 scikit-fem 链路正确、拿到 FEM 侧的成本实数。 算例为课件基础算例 f₁ = 2π²sin(πx)sin(πy)，解析解 u = sin(πx)sin(πy)。

① 正确性 —— 链路可信

算例	相对 L2 误差（64²）
基础 f₁	2.042e-04
多模态 f₂（含 sin(2πx)）	2.169e-04

② FEM-1~4 —— 二阶收敛，误差比精确 4.00

网格	节点数	单元数	相对 L2 误差	单次耗时	误差比
16×16	289	512	3.256e-03	1.8 ms	—
32×32	1,089	2,048	8.162e-04	4.5 ms	3.99
64×64	4,225	8,192	2.042e-04	26.2 ms	4.00
128×128	16,641	32,768	5.105e-05	94.3 ms	4.00

误差比恒为 4，与 P1 线性元的 O(h²) 理论完全吻合 —— FEM 基准是可预测的强基线。

③ 数据生成吞吐 —— 5000 样本约 10 分钟

128×128 单次求解（含建网格与装配）124 ms：

样本数	预计耗时
100	12.4 s
500	62 s
1,000	2.1 min
5,000	10.3 min

结论：数据生成不必过夜，可以放进迭代循环。

④ 病态性 —— κ 每加密一倍涨 4 倍

网格	节点数	λ_max	κ	放大倍数
16×16	289	7.923	1.031e+02	—
32×32	1,089	7.981	4.143e+02	×4.02
64×64	4,225	7.995	1.659e+03	×4.00
128×128	16,641	7.999	6.640e+03	×4.00

验证了 κ ~ h⁻²。附带旁证：λ_max 稳定收敛到 8.0，即 P1 单元在均匀三角剖分上离散拉普拉斯最大特征值的理论值。

📌 这组结果说明了一件要紧的事

在课程这个尺度上，FEM 并不慢 —— 128² 单次 94 ms，5000 个工况 10 分钟。 所以选题一的卖点**不能是”神经算子更划算”**：精度上 FEM 稳赢（二阶收敛），速度上在课程尺度 FEM 也不输。

唯一站得住的切口是”可靠性边界” —— 即 ID 精度高 ≠ OOD 可靠。这正是本课题的定位。

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进度

• 环境搭建（原生 Windows，scikit-fem + CUDA torch）
• FEM 链路验证（二阶收敛、κ ~ h⁻² 实测）
• FEM 成本基线上手（5000 样本 ≈ 10 分钟）
• FEM 交付件：求解器参数化 + 数据集生成 + 可视化
• 神经算子训练（FNO / DeepONet），ID 误差达标（目标 ~1e-2）
• OOD 切分实验：频率外推 / 分辨率迁移 / 几何迁移
• 与 FEM 的失效模式对照分析

参考文献定位

• Jha 2025，From Theory to Application: A Practical Introduction to Neural Operators （arXiv:2503.05598；Mathematics 14(13):2421）—— 实验设计与本课题几乎完全重合， 配套代码见本机 ../neural_operators-survey26_v2/（tag survey26_v2）。 其 compare_nops 实测：Poisson 上 ID 误差 ~5.7e-03，OOD 退化到 ~1.36e+00（约 230 倍）。
• Hildebrand & Klinge 2024 —— 神经算子精度天花板 10⁻²~10⁻³，远不及 FEM 的 10⁻⁶。
• Shikhman 2026 —— 750 个模型证实：”强的分布内精度不能可靠地预测鲁棒性”。